Question

已知椭圆

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1（a₁＞0，b₁＞0）的长轴长、短轴长、焦距长成等比数列，离心率为e₁；双曲线

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1（a₂＞0，b₂＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长也成等比数列，离心率为e₂．则e₁e₂=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长，通过等比数列建立b₁²=a₁•c₁，求出椭圆的离心率；根据双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等比数列，b₂²=a₂c₂，从而可求双曲线的离心率，即可得出结论．

解答： 解：设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c₁，2b₁，2a₁，
∵椭圆的长轴长、短轴长、焦距长成等比数列，
∴2a₁，2b₁，2c₁成等比数列，
∴4b₁²=2a₁•2c₁，∴b₁²=a₁•c₁，
∴b₁²=a₁²-c₁²=a₁•c₁，
两边同除以a₁²得：e₁²+e₁-1=0，
解得，e₁=

5 -1

2

，
双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等比数列，
∴b₂²=a₂c₂，
∴c₂²-a₂²=a₂c₂，
∴e₂²-e₂-1=0，
∵e₂＞1，
∴e₂=

5 +1

2

，
∴e₁e₂=1
故答案为：1．

点评：本题考查椭圆、双曲线的离心率，等比数列性质的应用，考查计算能力，属于中档题．