题目内容
已知△ABC中，点G满足
+
+
=
，
•
=0，则
+
的最小值为 ．
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
| GA |
| GB |
| 1 |
| tanB |
| 1 |
| tanA |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：首先，根据
+
+
=
得G是重心，然后，再取BC中点为D，AC中点为E，引入变量GE=n，GD=m，从而表示出tanB=
，tanA=
，最后，利用基本不等式求解其最小值即可．
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
| 3mn |
| 2n2-m2 |
| 3mn |
| 2m2-n2 |
解答：
解：由
+
+
=
得点G是重心，
设BC中点为D，AC中点为E，
设GE=n，GD=m，则BG=2n，AG=2m．
∴tanB=
，tanA=
，
∴
+
=
≥
=
，
∴则
+
的最小值为
．
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
设BC中点为D，AC中点为E，
设GE=n，GD=m，则BG=2n，AG=2m．
∴tanB=
| 3mn |
| 2n2-m2 |
| 3mn |
| 2m2-n2 |
∴
| 1 |
| tanB |
| 1 |
| tanA |
| m2+n2 |
| 3mn |
| 2nm |
| 3nm |
| 2 |
| 3 |
∴则
| 1 |
| tanB |
| 1 |
| tanA |
| 2 |
| 3 |
点评：本题重点考查了平面向量的基本运算，正切函数的定义、基本不等式等知识，解题关键是灵活引入变量，从而利用引入的变量表示待求的量，本题需要注意的问题是：基本不等式的应用条件：一正，二定，三相等．属于中档题．
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