Question

14．已知函数f（x）=2x+sinx，不等式f（m²）+f（2m-3）＜0（其中m∈R）的解集是（　　）

• A． （-3，1）
• B． （-1，3）
• C． （-∞，-3）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）为奇函数，对其求导可得f′（x）=2+cosx＞0，则函数f（x）在R上为增函数，由此可以将f（m²）+f（2m-3）＜0转化为m²+2m-3＜0，解可得m的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）=2x+sinx，
则f（-x）=2（-x）+sin（-x）=-（2x+sinx）=-f（x），f（x）为奇函数，
又由f′（x）=2+cosx＞0，则函数f（x）在R上为增函数，
f（m²）+f（2m-3）＜0⇒f（m²）＜-f（2m-3）⇒f（m²）＜f（3-2m）⇒m²＜3-2m⇒m²+2m-3＜0，
解可得：-3＜m＜1，
即其解集为（-3，1）；
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性，涉及一元二次不等式的解法，注意充分利用函数的奇偶性与单调性．