Question

9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=sinφ\end{array}$（φ为参数），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=bsinφ\end{array}$（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C₁，C₂各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=$\frac{π}{2}$时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明C₁，C₂是什么曲线，并求a与b的值；
（Ⅱ）设当α=$\frac{π}{4}$时，l与C₁，C₂的交点分别为A₁，B₁，当α=-$\frac{π}{4}$时，l与C₁，C₂的交点分别为A₂，B₂，求直线A₁ A₂、B₁B₂的极坐标方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=1，C₁是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，曲线C₂的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，C₂是焦点在x轴上的椭圆．当α=0时，射线l与C₁，C₂交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），当$α=\frac{π}{2}$时，射线l与C₁，C₂交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），由此能求出a，b．
（Ⅱ） C₁，C₂的普通方程分别为x²+y²=1和$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$，当$α=\frac{π}{4}$时，射线l与C₁的交点A₁的横坐标为$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，与C₂的交点B₁的横坐标为$x'=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，当$α=-\frac{π}{4}$时，射线l与C₁，C₂的交点A₂，分别与A₁，B₁关于x轴对称，由此能求出直线A₁ A₂ 和B₁B₂的极坐标方程．

解答 （本题满分10分）【选修4-4  坐标系统与参数方程】
解：（Ⅰ）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=sinφ\end{array}$（φ为参数），
∴曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=1，∴C₁是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，
∵曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=bsinφ\end{array}$（a＞b＞0，φ为参数），
∴曲线C₂的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，∴C₂是焦点在x轴上的椭圆．
当α=0时，射线l与C₁，C₂交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），
∵这两点间的距离为2，∴a=3…（2分）
当$α=\frac{π}{2}$时，射线l与C₁，C₂交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），
∵这两点重合，∴b=1…（5分）
（Ⅱ） C₁，C₂的普通方程分别为x²+y²=1和$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$…（6分）
当$α=\frac{π}{4}$时，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得A₁（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），即射线l与C₁的交点A₁的横坐标为$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得B₁（$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\frac{3\sqrt{10}}{10}$），与C₂的交点B₁的横坐标为$x'=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
当$α=-\frac{π}{4}$时，射线l与C₁，C₂的交点A₂，分别与A₁，B₁关于x轴对称
因此，直线A₁ A₂、B₁B₂垂直于极轴，
故直线A₁ A₂ 和B₁B₂的极坐标方程分别为$ρcosθ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$ρcosθ=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$…（10分）

点评 本题考查图形的判断与实数值的求法，考查极坐标方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间相互转化公式的合理运用．