Question

设数列{a_n}是各项均为1的无穷数列．若在数列{a_n}的首项a₁后面插入1，隔2项，即a₃后面插入2，再隔3项，即a₆后面插入3，…，这样得到一个新数列{b_n}，则数列{b_n}的前2011项的和为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：新数列{b_n}形如：1，1，1，1，2，1，1，1，3，1，1，1，1，4，…．把11，112，1113，11114，…组合成新的数组，那么新数组的数的个数为2，3，4，5，…，n+1．即数列{b_n}的项数为：2+3+4+5+…+n+1，

n(n+3)

2

＞2011，n＞61，即可求出．

解答： 解：新数列{b_n}形如：1，1，1，1，2，1，1，1，3，1，1，1，1，4，…
把11，112，1113，11114，…组合成新的数组，那么新数组的数的个数为2，3，4，5，…，n+1．
即数列{b_n}的项数为：2+3+4+5+…+n+1，
令2+3+4+5+…+（n+1）=2011，
∴

n(n+3)

2

=2011，
∴n（n+3）=4022，
∴n＞61，
因此数列{b_n}的前2010项为1、1，1、1、2，1、1、1、3，••，1、1、1、…1、61，1、1、1、…11（共59个1），
因此数列{b_n}的前2010项和为：2+4+6+…+61×2+59=3841．
故答案为：3841．

点评：本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．