Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=

an-- 1 2n ，n为正偶数 -an- 1 2n ，n为正奇数

，则S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得Sn=(-1)nan-

1

2n

，从而得到an=-

1

2n+1

，n为正奇数，an=

1

2n

，（n为正偶数），进而得到a₁+a₂=0，a₃+a₄=0，a₅+a₆=0，…a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=0，由此能求出S₂₀₁₄=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₄=0．

解答： 解：由已知得Sn=(-1)nan-

1

2n

，
当n=1时，a1=-a1-

1

2

，解得a1=-

1

4

；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-

1

2n

-（-1）^n-1a_n-1+

1

2n-1

，
∴an=(-1)nan+(-1)nan-1+

1

2n

，
当n为偶数，a_n-1=-

1

2n

，n≥2，
∴an=-

1

2n+1

，n为正奇数；
当n为奇数时，an-1=-2an+

1

2n

=(-2)•(-

1

2n+1

)+

1

2n

=

1

2n-1

，
∴an=

1

2n

，（n为正偶数），
∴-a₁=-（-

1

22

）=

1

22

，a2=

1

22

，
则a₁+a₂=0
同理，a₃+a₄=0，
a₅+a₆=0，
…
a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=0，
∴S₂₀₁₄=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₄=0．
故答案为：0．

点评：本题考查数列的前2014项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．