Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）半焦距为c，过焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左右两支各有一个交点，若抛物线y²=4cx的准线被双曲线C截得的弦长为

2 2

3

be²（e为双曲线C的离心率），则e的值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：抛物线y²=4cx的准线：x=-c，它正好经过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点，准线被双曲线C截得的弦长为：

2b2

a2

，可得

2b2

a2

=

2 2

3

be²，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．

解答： 解：∵抛物线y²=4cx的准线：x=-c，它正好经过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点，
∴准线被双曲线C截得的弦长为：

2b2

a2

，
∴

2b2

a2

=

2 2

3

be²，
即：

2

c²=3ab，
∴2c⁴=9a²（c²-a²），
∴2e⁴-9e²+9=0
∴e=

6

2

或

3

，
又过焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左右两支各有一个交点，
∴e=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查直线方程、椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系．由圆锥曲线的方程求焦点、离心率、双曲线的三参数的关系：c²=a²+b²注意双曲线与椭圆的区别．