已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}$.在同一平面直角坐标系中.将曲线C上的点按坐标变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}$得到曲线C'.以原点为极点.x轴的正半轴为极轴.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}$（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}$得到曲线C'，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）写出曲线C与曲线C'的极坐标的方程；
（2）若过点$A（{2\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$（极坐标）且倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求$\frac{|AP|}{|AM|•|AN|}$的值．

分析（1）利用三种方程的转化方法，写出曲线C与曲线C'的极坐标的方程；
（2）利用参数方程，及参数的几何意义，即可求$\frac{|AP|}{|AM|•|AN|}$的值．

解答解：（1）$C：\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.⇒C：\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，
将$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=3x'}\\{y=2y'}\end{array}}\right.$，代入C的普通方程可得x'²+y'²=1，即C'：x²+y²=1…（2分）
将$\left\{{\begin{array}{l}{x=ρcosα}\\{y=ρsinα}\end{array}}\right.$代入曲线方程可得$C：\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}α}}{9}+\frac{{{ρ^2}{{sin}^2}α}}{4}=1$，C'：ρ=1．…（5分）
（2）点$A（{2\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$直角坐标是A（2，2），将l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos\frac{π}{3}}\\{y=3+tsin\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$
代入$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，
可得$\frac{31}{4}{t^2}+（8+18\sqrt{3}）t+16=0$，…（7分）
所以$\frac{|AP|}{|AM|•|AN|}=\frac{{|{\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}}|}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{{4+9\sqrt{3}}}{16}$．…（10分）

点评本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．