Question

6．已知$α∈（\frac{π}{2}，π）$，且$sinα=\frac{4}{5}$．
（1）求$cos（α-\frac{π}{4}）$的值；
（2）求${sin^2}\frac{α}{2}+\frac{sin4αcos2α}{1+cos4α}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．
（2）利用倍角公式化简所求即可计算得解．

解答 （本题满分为9分）
解：（1）∵$α∈（\frac{π}{2}，π）$，且$sinα=\frac{4}{5}$．
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$，…2分
∴$cos（α-\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$…4分
（2）${sin^2}\frac{α}{2}+\frac{sin4αcos2α}{1+cos4α}$=$\frac{1-cosα}{2}$+$\frac{2sin2αco{s}^{2}2α}{2co{s}^{2}2α}$=$\frac{1-cosα}{2}$+2sinαcosα=$\frac{1+\frac{3}{5}}{2}$+2×$\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）$=-$\frac{4}{25}$…9分

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．