Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，数列{b_n}中，b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}{b}_{n}）}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：两式相减2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，采用“累乘法”即可求得数列{a_n}，b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$=2ⁿ⁺¹；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}{b}_{n}）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，即可求得T_n．

解答 解：（Ⅰ）当n≥2时，由2S_n=（n+1）a_n，则2S_n-1=na_n-1，
两式相减得：2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，
由a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{2}{1}$•1=n，（n≥2），
当n=1时，a₁=1，
∴a_n=n，（n∈N*）；
由b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$=2ⁿ⁺¹．
∴{b_n}的通项公式b_n=2ⁿ⁺¹；
（Ⅱ）由（Ⅰ），$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}{b}_{n}）}$=$\frac{1}{n（lo{g}_{2}{2}^{n+1}）}$，
=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
由数列{$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}{b}_{n}）}$}的前n项和T_n，T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$．
数列{$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}{b}_{n}）}$}的前n项和T_n=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的前n项和求法，考查“裂项法”，“累乘法”，考查计算能力，属于中档题．