Question

5．若直线y=kx+2与曲线$x=\sqrt{{y^2}+6}$交于不同的两点，那么k的取值范围是（　　）

• A． （$-\frac{{\sqrt{15}}}{3}，\frac{{\sqrt{15}}}{3}$）
• B． （$0，\frac{{\sqrt{15}}}{3}$）
• C． （$-\frac{{\sqrt{15}}}{3}，0$）
• D． （$-\frac{{\sqrt{15}}}{3}，-1$）

Answer 1

分析 曲线$x=\sqrt{{y^2}+6}$是焦点在x轴上的双曲线的右支，由直线y=kx+2与双曲线方程联立得：（1-k²）x²-4kx-10=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合图象能求出k的取值范围．

解答 解：如图，曲线$x=\sqrt{{y^2}+6}$是焦点在x轴上的双曲线的右支，
由直线y=kx+2与双曲线方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{x=\sqrt{{y}^{2}+6}}\end{array}\right.$，
消去y，得：（1-k²）x²-4kx-10=0
∵x₁x₂＞0，∴-$\frac{10}{1-{k}^{2}}$＞0，
∴k²＞1，解得k＞1或k＜-1，
又x₁+x₂＞0，∴$\frac{4k}{1-{k}^{2}}$＞0，解得k＜0，
∴k＜-1，
又△=（4k²）+40（1-k²）＞0，整理得k²＜$\frac{5}{3}$，
解得-$\frac{\sqrt{15}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{15}}{3}＜k＜-1$或1＜k＜$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
又由题意，直线与右支交于两点，由图象知k的取值范围是-$\frac{\sqrt{15}}{3}$＜k＜-1．
故选：D．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查双曲线、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．