Question

12．2015年，中国社科院发布《中国城市竞争力报告》，公布了中国十佳宜居城市和十佳最美丽城市，如表：

中国十佳宜居城市			中国十佳最美丽城市
排名	城市	得分	排名	城市	得分
1	深圳	90.2	1	杭州	93.7
2	珠海	89.8	2	拉萨	93.5
3	烟台	88.3	3	深圳	93.3
4	惠州	86.5	4	青岛	92.2
5	信阳	83.1	5	大连	92.0
6	厦门	81.4	6	银川	91.9
7	金华	79.2	7	惠州	90.6
8	柳州	77.8	8	哈尔滨	90.3
9	扬州	75.9	9	信阳	89.3
10	九江	74.6	10	烟台	88.8

（I）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得分的平均数分别为$\overline{{x}_{1}}$与$\overline{{x}_{2}}$，方差分别为S₁²，S₂²，试比较$\overline{{x}_{1}}$与$\overline{{x}_{2}}$，S₁²，S₂²的大小；（只需要写出结论）
（Ⅱ）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率．
（Ⅲ）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个进行调研，用X表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用表格能比较$\overline{{x}_{1}}$与$\overline{{x}_{2}}$，S₁²，S₂²的大小．
（Ⅱ）记选到的城市至多是一个“中国十佳宜居城市”为事件A，由已知既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个，由此能求出选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率．
（Ⅲ）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）由题意$\overline{{x}_{1}}$＜$\overline{{x}_{2}}$，${{S}_{1}}^{2}$＞${{S}_{2}}^{2}$．
（Ⅱ）记选到的城市至多是一个“中国十佳宜居城市”为事件A，
由已知既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个：
深圳，惠州，信阳，烟台，
∴选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率P（A）=$\frac{{C}_{6}^{3}+{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{2}{3}$．
（Ⅲ）由题意X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{1}{C}_{10}^{1}}$=$\frac{36}{100}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{1}+{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{1}{C}_{10}^{1}}$=$\frac{52}{100}$，
P（X=2）=$\frac{{A}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{1}{C}_{10}^{1}}$=$\frac{12}{100}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{36}{100}$	$\frac{52}{100}$	$\frac{12}{100}$

∴EX=$0×\frac{36}{100}+1×\frac{52}{100}+2×\frac{12}{100}$=$\frac{19}{25}$．

点评 本题考查平均值、方差的大小的比较，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．