Question

20．设G为△ABC的重心，过G作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于P，Q．若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}$=μ$\overrightarrow{AC}$．
（1）求$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$的值；
（2）求λμ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{PG}$，根据P，Q，G三点共线得出λ，μ的关系；
（2）用λ表示出μ，令λ，μ∈（0，1）得出λ的范围，则λμ可表示为关于λ的函数，求出该函数的最值即可．

解答 解：（1）连接AG并延长，交BC于M，则M是BC的中点，设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$
$则\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}）=\frac{1}{2}（{\overrightarrow b+\overrightarrow c}），\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}（{\overrightarrow b+\overrightarrow c}）①$，
$又\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow b，\overrightarrow{AQ}=μ\overrightarrow{AC}=μ\overrightarrow c，②$
∴$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}=μ\overrightarrow c-λ\overrightarrow b，\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}（{\overrightarrow b+\overrightarrow c}）-λ\overrightarrow b=（{\frac{1}{3}-λ}）\overrightarrow b+\frac{1}{3}\overrightarrow c$．
∵P，G，Q三点共线，故存在实数t，使$\overrightarrow{PG}=t\overrightarrow{PQ}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}-λ=-λt}\\{\frac{1}{3}=μt}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{λ}+\frac{1}{μ}=3$；
（2）由（1）得μ=$\frac{λ}{3λ-1}$，
∵λ，μ∈（0，1），∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜λ＜1}\\{0＜\frac{λ}{3λ-1}＜1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜λ＜1．∴1＜$\frac{1}{λ}＜2$．
∴λμ=$\frac{{λ}^{2}}{3λ-1}$=$\frac{1}{\frac{3}{λ}-\frac{1}{{λ}^{2}}}$=$\frac{1}{-（\frac{1}{λ}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}$．
∴当$\frac{1}{λ}=\frac{3}{2}$时，λμ取得最小值$\frac{4}{9}$，当$\frac{1}{λ}$=1或2时，λμ取得最大值$\frac{1}{2}$．
∴λμ的取值范围是[$\frac{4}{9}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，不等式的解法，根据图形寻找向量的关系是关键．