Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$，且图象上相邻两个最低点的距离为π．
（1）函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[-π，π]上的值域；
（3）求（2）中g（x）在[$\frac{π}{3}$，$\frac{10π}{3}$]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由题意易得周期为π，可得ω，再由对称轴可得φ值，可得解析式；
（2）由三角函数图象变换真假求解函数的解析式即可．
（3）借助正弦函数的单调增区间求解函数的单调减区间即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）图象上相邻两个最底点的距离为π，
∴?（x）的最小正周期T=π，∴ω=$\frac{2π}{T}$=2，
又∵f（x）图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，
∴2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）；
x∈[-π，π]，$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
g（x）在[-π，π]上的值域为；[$-\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．
（3）g（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）；
∵$\frac{π}{3}≤x≤\frac{10π}{3}$，∴$\frac{π}{3}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}≤\frac{11π}{6}$，当$\frac{π}{3}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}$，即：$\frac{π}{3}≤x≤\frac{2π}{3}$时，g（x）单调递增，
当$\frac{3π}{2}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}≤\frac{11π}{6}$，即$\frac{8π}{3}≤x≤\frac{10π}{3}$时g（x）单调递增．
∴g（x）在[$\frac{π}{3}$，$\frac{10π}{3}$]上的单调递增区间：[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，[$\frac{8π}{3}$，$\frac{10π}{3}$]．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的对称性和最值，三角函数的平移变换，属中档题．