题目内容
17．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线L：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$ （T为参数）与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）相交于不同的两点A，B．（1）若α=$\frac{π}{3}$，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，求直线AB的极坐标方程；
（2）若直线的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{4}$，点P（2，$\sqrt{3}$），求|PA|•|PB|的值．
分析 （1）先求出l的普通方程，然后根据极坐标的关系进行求解即可．
（2）求出C的普通方程，利用参数的几何意义进行求解即可．
解答 解：（1）当α=$\frac{π}{3}$时，直线l的普通方程为：$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}$=0
∴直线l的极坐标方程为：$\sqrt{3}$ρcosθ-ρsinθ=$\sqrt{3}$，即2$ρcos（θ+\frac{π}{6}）$=$\sqrt{3}$．
（2）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$普通方程是：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1，
将$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$ 代入曲线C的普通方程，整理得：
（cos2α+4sin2α）t2+（8$\sqrt{3}$sinα+4cosα）t+12=0
因为|PA||PB|=|t1t2|=$\frac{12}{cos^2α+4sin^2α}$=$\frac{12（cos^2α+sin^2α）}{cos^2α+4sin^2α}$=$\frac{12（1+tan^2α）}{1+4tan^2α}$
而直线的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{4}$，则tanα=$\frac{\sqrt{5}}{4}$ 代入上式求得|PA||PB|=$\frac{12（1+\frac{5}{16}）}{1+4×\frac{5}{16}}$=7．
点评 本题主要考查参数方程和极坐标方程的应用，根据条件化简为普通方程是解决本题的关键．
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如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B、C两点，PA=3，PB=1，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．
5．函数y=2cos（2x+$\frac{π}{4}$），x∈R的单调递减区间是（ ）
| A． | [kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z | B． | [kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z | ||
| C． | [kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z | D． | [kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈Z |
12．2015年，中国社科院发布《中国城市竞争力报告》，公布了中国十佳宜居城市和十佳最美丽城市，如表：
（I）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得分的平均数分别为$\overline{{x}_{1}}$与$\overline{{x}_{2}}$，方差分别为S12，S22，试比较$\overline{{x}_{1}}$与$\overline{{x}_{2}}$，S12，S22的大小；（只需要写出结论）
（Ⅱ）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率．
（Ⅲ）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个进行调研，用X表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求X的分布列和数学期望．
| 中国十佳宜居城市 | 中国十佳最美丽城市 | ||||
| 排名 | 城市 | 得分 | 排名 | 城市 | 得分 |
| 1 | 深圳 | 90.2 | 1 | 杭州 | 93.7 |
| 2 | 珠海 | 89.8 | 2 | 拉萨 | 93.5 |
| 3 | 烟台 | 88.3 | 3 | 深圳 | 93.3 |
| 4 | 惠州 | 86.5 | 4 | 青岛 | 92.2 |
| 5 | 信阳 | 83.1 | 5 | 大连 | 92.0 |
| 6 | 厦门 | 81.4 | 6 | 银川 | 91.9 |
| 7 | 金华 | 79.2 | 7 | 惠州 | 90.6 |
| 8 | 柳州 | 77.8 | 8 | 哈尔滨 | 90.3 |
| 9 | 扬州 | 75.9 | 9 | 信阳 | 89.3 |
| 10 | 九江 | 74.6 | 10 | 烟台 | 88.8 |
（Ⅱ）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率．
（Ⅲ）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个进行调研，用X表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求X的分布列和数学期望．
如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=4，BC=5，图中阴影部分（梯形剪去一个扇形）绕AB旋转一周形成一个旋转体．