已知实数x.y满足x2+y2=4.则42+(y-1)2+4xy的取值范围是[1.22+4$\sqrt{5}$]．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

2．已知实数x，y满足x²+y²=4，则4（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²+4xy的取值范围是[1，22+4$\sqrt{5}$]．

分析 4（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²+4xy=4x²-4x+1+y²-2y+1+4xy=（2x+y-1）²+1，再利用三角换元，即可得出结论．

解答解：4（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²+4xy=4x²-4x+1+y²-2y+1+4xy=（2x+y-1）²+1．
设x=2cosα，y=2sinα，∴2x+y-1=4cosα+2sinα-1=2$\sqrt{5}$sin（α+θ）-1∈[-2$\sqrt{5}$-1，2$\sqrt{5}$-1]，
∴（2x+y-1）²∈[0，21+4$\sqrt{5}$]，
∴（2x+y-1）²+1∈[1，22+4$\sqrt{5}$]，
故答案为：[1，22+4$\sqrt{5}$]．

点评本题考查4（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²+4xy的取值范围，考查三角换元，正确变形是关键．

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12．命题p：函数$y=\sqrt{a{x^2}+ax+1}$的定义域为R；
命题q：$y={log_{\frac{1}{2}}}（a{x^2}+4x+2）$的值域是R．若p∧q为真命题求a的取值范围．

13．已知函数y=f（x）对于任意x∈R有$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$，且当x∈[-1，1]时，f（x）=x²+1，则以下命题正确的是：
①函数数y=f（x）是周期为2的偶函数；
②函数y=f（x）在[2，3]上单调递增；
③函数$y=f（x）+\frac{4}{f（x）}$的最大值是4；
④若关于x的方程[f（x）]²-f（x）-m=0有实根，则实数m的范围是[0，2]；
⑤当x₁，x₂∈[1，3]时，$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$．
其中真命题的序号是①②④．

10．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=5，S₅=3S₃-2．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

17．给出如下四对事件：其中属于互斥事件的有（　　）
①某人射击一次，“射中7环”与“射中8环”；
②甲、乙两人各射击一次，“甲射中7环”与“乙射中8环”；
③甲、乙两人各射击一次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；
④甲、乙两人各射击一次，“至少有一人射中目标”与“至多有一人射中目标”．

如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B、C两点，PA=3，PB=1，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．
（I）求证PA•DC=PC•DB；
（Ⅱ）求 AD•AE的值．

14．某高中学校在2015年的一次体能测试中，规定所有男生必须依次参加50米跑、立定跳远和一分钟引体向上三项测试，只有三项测试全部达标才算合格，已知男生甲的50米跑和立定跳远的测试与男生乙的50米跑测试已达标，男生甲需要参加一分钟引体向上测试，男生乙还需要参加立定跳远和一分钟引体向上两项测试，若甲参加一分钟引体向上测试达标的概率为p，乙参加立定跳远和一分钟引体向上测试达标的概率均为$\frac{1}{2}$，甲、乙每一项测试是否达标互不影响，已知甲和乙同时合格的概率为$\frac{1}{6}$．
（1）求p的值，并计算甲和乙恰有一人合格的概率；
（2）在三项测试项目中，设甲达标的测试项目数为x，乙达标的测试项目的项数为y，记ξ=x+y，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

11．已知直线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ+2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），且C₁与C₂相交于A，B两点；
（1）当tanα=1时，判断直线C₁与曲线C₂的位置关系，并说明理由；
（2）当α变化时，求弦AB的中点P的普通方程，并说明它是什么曲线．

12．2015年，中国社科院发布《中国城市竞争力报告》，公布了中国十佳宜居城市和十佳最美丽城市，如表：

中国十佳宜居城市			中国十佳最美丽城市
排名	城市	得分	排名	城市	得分
1	深圳	90.2	1	杭州	93.7
2	珠海	89.8	2	拉萨	93.5
3	烟台	88.3	3	深圳	93.3
4	惠州	86.5	4	青岛	92.2
5	信阳	83.1	5	大连	92.0
6	厦门	81.4	6	银川	91.9
7	金华	79.2	7	惠州	90.6
8	柳州	77.8	8	哈尔滨	90.3
9	扬州	75.9	9	信阳	89.3
10	九江	74.6	10	烟台	88.8

（I）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得分的平均数分别为$\overline{{x}_{1}}$与$\overline{{x}_{2}}$，方差分别为S₁²，S₂²，试比较$\overline{{x}_{1}}$与$\overline{{x}_{2}}$，S₁²，S₂²的大小；（只需要写出结论）
（Ⅱ）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率．
（Ⅲ）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个进行调研，用X表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求X的分布列和数学期望．