Question

4．双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，与圆x²+y²=5交于点P（2，-1），如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴的一个端点的连线，求双曲线的方程．

Answer 1

分析 设双曲线方程，将P代入双曲线方程则$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，由圆的切线斜率k_切与k_OP的乘积为-1，k_切=2，即$\frac{b}{a}$=2，则b=2a，即可求得a和b的值，求双曲线方程．

解答 解：∵双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，
∴双曲线方程可设为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）．
∵点P（2，-1）在双曲线上，则$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，①．
又∵圆x²+y²=5在点P处的切线平行于双曲线左顶点（-a，0）与虚轴的一个端点（0，b）的连线，
而圆的切线斜率k_切与k_OP的乘积为-1，
∴k_切=2，即$\frac{b}{a}$=2，∴b=2a②．
解得①②得a²=$\frac{15}{4}$，b²=15，
∴双曲线方程为$\frac{4{x}^{2}}{15}$-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查直线的斜率公式，圆与双曲线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．