Question

如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1百米．
（1）求△CDE的面积；
（2）求A，B之间的距离的平方．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的余弦函数

专题：解三角形

分析：（1）利用周角定义求出∠DCE度数，再由CD与CE的长，利用三角形面积公式求出三角形CDE面积即可；
（2）连接AB，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出AC的长，在直角三角形BCE中，求出∠CBE度数，利用正弦定理求出BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AB的平方即可．

解答： 解：（1）在△CDE中，∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°，
∴S_△CDE=

1

2

CD•CE•sin150°=

1

2

×1×1×

1

2

=

1

4

（平方百米）；
（2）连接AB，
根据题意知，在Rt△ACD中，AC=DC•tan∠ADC=1×tan60°=

3

（百米），
在△BCE中，∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°，
由正弦定理

BC

sin∠CEB

=

CE

sin∠CBE

得：BC=

CE•sin∠CEB

sin∠CBE

=

1× 2 2

1 2

=

2

（百米），
∵cos15°=cos（60°-45°）=cos60°cos45°+sin60°sin45°=

6 + 2

4

，
在△ABC中，由余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB，
则AB²=3+2-2

3

×

2

×

6 + 2

4

=2-

3

（百米）．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．