Question

对于函数f（x）=e^ax-lnx（a是实常数），下列结论正确的一个是（　　）

• A、a=1时，f（x）有极大值，且极大值点x₀∈（

  1

  2

  ，1）
• B、a=2时，f（x）有极小值，且极小值点x₀∈（0，

  1

  4

  ）
• C、a=

  1

  2

  时，f（x）有极小值，且极小值点x₀∈（1，2）
• D、a＜0时，f（x）有极大值，且极大值点x₀∈（-∞，0）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导数，根据函数极值存在的条件，以及函数零点的判断条件，判断f′（x）=0根的区间即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=e^ax-lnx，
∴函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=ae^ax-

1

x

，
若a=

1

2

，f（x）=e

1

2

x-lnx，
则f′（x）=

1

2

e

1

2

x-

1

x

在（0，+∞）上单调递增，
f′（1）=

1

2

e

1

2

-1=

1

2

e

-1＜0，f′（2）═

1

2

e-

1

2

=

1

2

(e-1)＞0，
∴函数f（x）存在极小值，且f′（x）=0的根在区间（1，2）内，
故选：C

点评：本题主要考查函数零点的判断以及函数极值的求解，利用函数和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．