Question

如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0．
（1）将十字形的面积表示为θ的函数；
（2）十字形的最大面积是多少？并求出十字形取得最大值时，tanθ的值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,三角函数的求值

分析：（1）设S为十字形的面积，根据图形能够得到其表达式为S=2xy-x²，再由圆的参数方程知x=cosθ，y=sinθ，故S=2sinθcosθ-cos²θ（

π

4

＜θ＜

π

2

）．
（2）由S=2sinθcosθ-cos²θ=sin2θ-

1

2

cos2θ-

1

2

=

5

2

sin（2θ-φ）-

1

2

可以求出θ为何值时，十字形的面积最大和最大面积是多少．

解答： 解：（1）设S为十字形的面积，则S=2xy-x²=2sinθcosθ-cos²θ（

π

4

＜θ＜

π

2

）．（4分）
（2）S=2sinθcosθ-cos²θ=sin2θ-

1

2

cos2θ-

1

2

=

5

2

sin（2θ-φ）-

1

2

，
其中φ=arccos

2 5

5

．（8分）
当sin（2θ-φ）=1，即2θ-φ=

π

2

时，S最大为

5 -1

2

．（10分）
tan2θ=tan（

π

2

+φ）=-

cosφ

sinφ

=-2，∴tanθ=

1+ 5

2

．（12分）

点评：本题考查函数的应用，考查三角函数知识，正确化简是关键，解题时要认真审题，仔细解答．