题目内容
已知函数f（x）=
．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若0＜x1＜x2＜1，试比较
与
的大小；
（3）设g（x）=f（x）-kx-2，若函数g（x）有且只有一个零点，求实数k的取值范围．
-
|
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若0＜x1＜x2＜1，试比较
| f(x1) |
| x1 |
| f(x2) |
| x2 |
（3）设g（x）=f（x）-kx-2，若函数g（x）有且只有一个零点，求实数k的取值范围．
考点：函数单调性的性质,函数的定义域及其求法
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域；
（2）判定函数
在0＜x＜1上的单调性即可比较
与
的大小；
（3）令g（x）=0，将方程转化为两个函数，利用数形结合即可得到结论．
（2）判定函数
| f(x) |
| x |
| f(x1) |
| x1 |
| f(x2) |
| x2 |
（3）令g（x）=0，将方程转化为两个函数，利用数形结合即可得到结论．
解答：
解：（1）要使函数有意义，则2x-x2≥0，即x2-2x≤0，
解得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]．
（2）∵
=
在（0，1）上递减，
∴当0＜x1＜x2＜1时，
＞
．
（3）由g（x）=f（x）-kx-2=0，则f（x）=kx+2，
设y=kx+2，y=f（x），
则函数y=f（x）的图象是以（1，0）为圆心，半径为1的上半圆，
当直线y=kx+2过点C（2，0）时，此时直线的斜率k=-1，两个图象有两个交点，
当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离d=
=1，
解得k=-
，
故函数g（x）有且只有一个零点，则实数k满足k=-
或k＜-1，
即k∈(-∞，-1)∪{-
}．
解：（1）要使函数有意义，则2x-x2≥0，即x2-2x≤0，解得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]．
（2）∵
| f(x) |
| x |
|
∴当0＜x1＜x2＜1时，
| f(x1) |
| x1 |
| f(x2) |
| x2 |
（3）由g（x）=f（x）-kx-2=0，则f（x）=kx+2，
设y=kx+2，y=f（x），
则函数y=f（x）的图象是以（1，0）为圆心，半径为1的上半圆，
当直线y=kx+2过点C（2，0）时，此时直线的斜率k=-1，两个图象有两个交点，
当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离d=
| |k+2| | ||
|
解得k=-
| 3 |
| 4 |
故函数g（x）有且只有一个零点，则实数k满足k=-
| 3 |
| 4 |
即k∈(-∞，-1)∪{-
| 3 |
| 4 |
点评：本题主要考查函数的定义域，函数的单调性以及函数零点的应用，综合考查函数的性质．
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