Question

已知关于x的不等式x²-3x+m＜0是{x|1＜x＜n}（n＞1）．
（1）求实数m，n的值；
（2）若正数a，b满足：ma+2nb=1，求a-b的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式,一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用根与系数的关系即可得出；
（2）利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）由题意可知：1，n是x²-3x+m=0的两根，
∴1+n=3，1×n═m，
∵n＞1，
∴m=2，n=2．
（2）把m=2，n=2代入ma+2nb=1，得a+2b=

1

2

．
∴2

2ab

≤

1

2

，
解得：a•b≤

1

32

．
当且仅当a=2b=

1

4

，即a=

1

4

，b=

1

8

时等号成立．
∴ab的最大值为

1

32

．

点评：利用一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质，属于基础题．