Question

【题目】如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若平面平面，为的中点，求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据等边三角形可知，，可得平面，进而可求平面，即可求证；（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式计算即可.

证明：（Ⅰ）取中点，连接，，．如图，

∵三棱柱的所有棱长均为2，，

∴和是边长为2的等边三角形，且．

∴，．

∵，平面，，

∴平面．

∵平面，∴．

∵，平面，，

∴平面，

∴．

（Ⅱ）∵平面平面，且交线为，

由（Ⅰ）知，

∴平面．

则，，两两垂直，则以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系．

则，，，，，

∵为的中点，∴，

∴，，，

设平面的法向量为，

则，取，得．

设与平面所成的角为，则．

∴与平面所成角的正弦为．