题目内容
【题目】己知圆,圆
.
(1)证明:圆与圆
有公共点,并求公共点的轨迹
的方程;
(2)已知点,过点
且斜率为
的直线与(1)中轨迹
相交于
两点,记直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,是否存在实数
使得
为定值?若存在,求出
的值,若不存在,说明理由.
【答案】(1)详见解析;;(2)存在实数
使得
.
【解析】
(1)根据圆与圆的位置关系以及椭圆的定义,即可得出公共点的轨迹的方程;
(2)设过点且斜率为
的直线方程为
,将其代入椭圆方程,利用韦达定理得出
的值,再结合两点的斜率公式求解即可.
(1)证明:因为,所以
因为圆的半径为
,圆
的半径为
又因为,所以
,即
所以圆与圆
有公共点
设公共点为,因此
,所以
点的轨迹
是以
为焦点的椭圆,所以
即轨迹的方程为
(2)过点且斜率为
的直线方程为
,设
由消去
得到
则①
因为
所以
将①式代入整理得
因为
所以当时,即
时,
即存在实数使得
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