题目内容
【题目】已知曲线C上每一点到直线l:的距离比它到点
的距离大1.
(1)求曲线C的方程;
(2)曲线C任意一点处的切线m(不含x轴)与直线相交于点M,与直线l相交于点N,证明:
为定值,并求此定值.
【答案】(1);(2)证明见解析,
为定值0.
【解析】
(1)利用抛物线的定义可得曲线是顶点在原点,
轴为对称轴,
为焦点的抛物线,从而求出曲线
的方程;
(2)依题意,切线的斜率存在且不等于0,设切线
的方程为:
,与抛物线方程联立,利用△
得到
,故切线
的方程可写为
,进而求出点
,
的坐标,用坐标表达出
和
,即可证得
为定值.
解:(1)由题意可知,曲线C上每一点到直线的距离等于该点到点
的距离,
曲线C是顶点在原点,y轴为对称轴,
为焦点的抛物线.
曲线C的轨迹方程为:
.
(2)依题设,切线m的斜率存在且不等于零,设切线m的方程为
(
),
代入得
,即
.
由得
,化简整理得
.
故切线m的方程可写为.
分别令,
得M,N的坐标为
,
,
,
.
.
即为定值0.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目