Question

【题目】已知曲线C上每一点到直线l：的距离比它到点的距离大1.

（1）求曲线C的方程；

（2）曲线C任意一点处的切线m（不含x轴）与直线相交于点M，与直线l相交于点N，证明：为定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，为定值0.

【解析】

（1）利用抛物线的定义可得曲线是顶点在原点，轴为对称轴，为焦点的抛物线，从而求出曲线的方程；

（2）依题意，切线的斜率存在且不等于0，设切线的方程为：，与抛物线方程联立，利用△得到，故切线的方程可写为，进而求出点，的坐标，用坐标表达出和，即可证得为定值．

解：（1）由题意可知，曲线C上每一点到直线的距离等于该点到点的距离，

曲线C是顶点在原点，y轴为对称轴，为焦点的抛物线.

曲线C的轨迹方程为：.

（2）依题设，切线m的斜率存在且不等于零，设切线m的方程为

（），

代入得，即.

由得，化简整理得.

故切线m的方程可写为.

分别令，得M，N的坐标为，，

，.

.

即为定值0.