Question

如图，已知|AB|=10，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n，…．利用这两组同心圆可以画出以A、B为焦点的椭圆或双曲线．若其中经过点M、N的椭圆的离心率分别是e_M，e_N，经过点P，Q的双曲线的离心率分别是e_P，e_Q，则它们的大小关系是

 

（用“＜”连接）．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先根据椭圆和双曲线的定义得出c=5，然后数格子，得出2a=2，进而求出各自的离心率，然后进行比较．

解答： 解：由题意可知：所有的双曲线的焦距一定为|AB|=10，
即2c=10，∴c=5，
各点的对应表：（指经过该点的圆的半径）

	以A为圆心的圆的半径	以B为圆心的圆的半径
M	3	10
N	5	7
P	7	3
Q	3	8

由椭圆的第一定义得到：
对过M点的椭圆：|PA|+|PB|=2a=3+10=13，∴a=

13

2

，e_M=

5

13 2

=

10

13

；
对过N点的椭圆：|PA|+|PB|=2a=5+7=12，∴a=6，e_N=

5

6

；
由双曲线的第一定义得到：
对过P点的双曲线：||PA|-|PB||=2a=|7-3|=4，∴a=2，eP =

5

2

；
对过Q点的双曲线：||PA|-|PB||=2a=|3-8|=5，∴a=

5

2

，e_Q=

5

5 2

=2．
∴e_M＜e_N＜e_Q＜e_P；
故答案为：e_M＜e_N＜e_Q＜e_P．

点评：本题考查了椭圆和双曲线的定义以及简单性质，根据格子确定a的值，和真正懂得双曲线的定义，是解题的关键，属于基础题．