Question

13．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为$\frac{2}{5}$，乙车间3台机器每天发生故障的概率分别为$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{3}{5}$．若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．
（Ⅰ）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；
（Ⅱ）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个．以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．

Answer 1

分析 （Ⅰ）乙车间每天机器发生故障的台数ξ，可以取0，1，2，3，求出相应的概率，即可求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；
（Ⅱ）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为X，则η～B（3，$\frac{2}{5}$），求出甲乙的期望，比较，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）乙车间每天机器发生故障的台数ξ，可以取0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-$\frac{1}{5}$）×（1-$\frac{1}{5}$）×（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{32}{125}$，P（ξ=1）=C₂¹×$\frac{1}{5}$×（（1-$\frac{1}{5}$）×（1-$\frac{3}{5}$）²+（1-$\frac{1}{5}$）×$\frac{3}{5}$=$\frac{64}{125}$，
P（ξ=2）=C₂¹×$\frac{1}{5}$×（（1-$\frac{1}{5}$）×$\frac{3}{5}$+（$\frac{1}{5}$）²×（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{26}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{125}$，
∴乙车间每天机器发生故障的台数ξ的分布列；

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{32}{125}$	$\frac{64}{125}$	$\frac{26}{125}$	$\frac{3}{125}$

（Ⅱ）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为X，则η～B（3，$\frac{2}{5}$），
P（η=k）=${C}_{3}^{k}•（\frac{2}{5}）^{k}•（1-\frac{2}{5}）^{3-k}$（k=0，1，2，3），
∴EX=2P（η=0）+1×P（η=1）+0×P（η=2）-3×P（η=3）=$\frac{84}{125}$，
由（Ⅰ）得EY=2P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+0×P（ξ=2）-3×P（ξ=3）=$\frac{119}{125}$，
∵EX＜EY，
∴甲车间停产比较合理．

点评 本题考查概率知识的运用，考查数学期望，考查学生的计算能力，正确求出概率是关键．