Question

3．已知函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx．求：
（1）f（x）图象的对称中心的坐标；
（2）f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称中心，求得f（x）图象的对称中心的坐标．
（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调区间．

解答 解：（1）函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
令x+$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=kπ-$\frac{π}{3}$，可得函数的图象的对称中心为（kπ-$\frac{π}{3}$，0），k∈Z．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$，
可得函数的增区间为[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得2kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{7π}{6}$，
可得函数的减区间为[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{7π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的图象的对称中心以及它的单调性，属于基础题．