Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=-2x+m（m＞0），试求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，长轴长为4，求出椭圆的几何量，可得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线AB、联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，由OA⊥OB，则有x₁x₂+y₁y₂=0，化简整理即可求m的值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，长轴长为4，
∴c=$\sqrt{3}$，a=2，
∴b=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）直线AB的方程为y=-2x+m（m＞0），代入椭圆方程得
17x²-16mx+4m²-4=0，
则x₁+x₂=$\frac{16m}{17}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{17}$，①
由OA⊥OB，
知x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-2x₁+m）（-2x₂+m）
=5x₁x₂-2m（x₁+x₂）+m²=0，
将①代入，得5×$\frac{4{m}^{2}-4}{17}$-2m×$\frac{16m}{17}$+m²=0，
∵m＞0，
∴m=2．

点评 本题考查椭圆的方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，考查韦达定理的运用，属于中档题．