Question

5．如图，已知函数f（x）=msin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$）（m＞0）的图象在y轴右侧的最高点从左到右依次为B₁、B₂、B₃、…，与x轴正半轴的交点从左到右依次为C₁、C₂、C₃、…．
（1）若m=1，求$\overrightarrow{O{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$；
（2）在△OB₁C₁，△OB₂C₃，△OB₃C₅，…，△OB_iC_2i-1，（i=1，2，3，…）中，有且只有三个锐角三角形，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的图象的特征求得B₁、B₂、B₃、…，与C₁、C₂、C₃、…的坐标，利用两个向量的数量积公式求得$\overrightarrow{O{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$的值．
（2）由题意可得∠OB₃C₅为锐角，且∠OB₄C₇为钝角，故有${{OB}_{3}}^{2}$+${{{B}_{3}C}_{5}}^{2}$-OC₅＞0，且 ${{OB}_{4}}^{2}$+${{{B}_{4}C}_{7}}^{2}$-OC₇＜0，从而求得m的范围．

解答 解：（1）若m=1，则令$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$分别等于$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{2}$，$\frac{9π}{2}$…，
可得B₁（$\frac{1}{2}$，1）、B₂（$\frac{9}{2}$，1）、B₃（$\frac{17}{2}$，1）…，
令$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$分别等于π，2π，3π，…，C₁（$\frac{3}{2}$，0）、C（$\frac{7}{2}$，0）、C₃（$\frac{11}{2}$，0）…，
∴$\overrightarrow{O{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，1）•（1，-1）=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$．
（2）由题意可得 函数f（x）=msin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$）（m＞0）的周期为$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4，
△OB₃C₅为锐角三角形，且△OB₄C₇为钝角角三角形，即∠OB₃C₅为锐角，且∠OB₄C₇为钝角，
∴${{OB}_{3}}^{2}$+${{{B}_{3}C}_{5}}^{2}$-OC₅＞0，且 ${{OB}_{4}}^{2}$+${{{B}_{4}C}_{7}}^{2}$-OC₇＜0，
即 ${（\frac{\frac{15}{2}+\frac{19}{2}}{2}）}^{2}$+m²+${（\frac{1}{4}•4）}^{2}$+m²-${（\frac{19}{2}）}^{2}$＞0，且 ${（\frac{\frac{23}{2}+\frac{27}{2}}{2}）}^{2}$+m²+${（\frac{1}{4}•4）}^{2}$+m²-${（\frac{27}{2}）}^{2}$＜0，
求得$\sqrt{\frac{17}{2}}$＜m＜$\sqrt{\frac{25}{2}}$，即$\frac{\sqrt{34}}{2}$＜m＜$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的特征，两个向量的数量积公式，锐角三角形、钝角三角形的性质，属于中档题．