题目内容
集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于任意的m，n∈[-1，1]，且m≠n，都有|f（m）-f（n）|≤3|m-n|．
（1）判断函数f1（x）=x2是否在集合A中？并说明理由；
（2）设函数f（x）=ax2+bx，若对于任意的m，n∈[-1，1]，有|a（m+n）+b|≤3恒成立，试求2a+b的取值范围，并推理判断f（x）是否在集合A中？
（3）在（2）的条件下，若f（-2）=6，且对于满足（2）的每个实数a，存在最大的实数t，使得当x∈[-2，t]时，|f（x）|≤6恒成立，试求用a表示t的表达式．
（1）判断函数f1（x）=x2是否在集合A中？并说明理由；
（2）设函数f（x）=ax2+bx，若对于任意的m，n∈[-1，1]，有|a（m+n）+b|≤3恒成立，试求2a+b的取值范围，并推理判断f（x）是否在集合A中？
（3）在（2）的条件下，若f（-2）=6，且对于满足（2）的每个实数a，存在最大的实数t，使得当x∈[-2，t]时，|f（x）|≤6恒成立，试求用a表示t的表达式．
考点：函数解析式的求解及常用方法
专题：综合题
分析：第（1）问判断函数f1（x）=x2是否在集合A中，就是验证是否满足|f（m）-f（n）|≤3|m-n|，代入验证即可；
第（2）问把恒成立问题转化成求最值问题解决，在求最值时可以使用绝对值不等式的性质；
第（3）问，|f（x）|≤6恒成立，就是让f（x）的最小值大于等于-6，最大值小于等于6，要根据条件先求出a的范围，然后根据a的范围，求函数f（x）的最值．
第（2）问把恒成立问题转化成求最值问题解决，在求最值时可以使用绝对值不等式的性质；
第（3）问，|f（x）|≤6恒成立，就是让f（x）的最小值大于等于-6，最大值小于等于6，要根据条件先求出a的范围，然后根据a的范围，求函数f（x）的最值．
解答：
解：（1）f1(x)=x2在集合A中．理由如下：设m，n∈[-1，1]，且m≠n，则
|f1（m）-f1（n）|=|m2-n2|=|（m+n）（m-n）|=|m+n|•|m-n|
≤（|m|+|n|）•|m-n|≤2|m-n|≤3|m-n|
∴f1(x)=x2在集合A中…4分
（2）∵对于任意的m，n∈[-1，1]，有|a（m+n）+b|≤3恒成立，
∴令u=m+n∈[-2，2]，则|au+b|≤3恒成立，|au+b|max≤3
∵|au+b|≤|au|+|b|≤|2a|+|b|
∴|2a|+|b|≤3
∴|2a+b|≤|2a|+|b|≤3 即2a+b∈[-3，3]…7分
当m，n∈[-1，1]且m≠n时，有|f（m）-f（n）|=|（am2+bm）-（an2+bn）|=|a（m+n）+b||m-n|
又∵对任意的m，n∈[-1，1]，|a（m+n）+b|≤3恒成立，
∴|f（m）-f（n）|=|a（m+n）+b||m-n|≤3|m-n|成立，
∴f（x）=ax2+bx在集合A中…9分
（3）由f（-2）=6，可知b=2a-3 又因为2a+b∈[-3，3]
∴2a+b=4a-3∈[-3，3]∴a∈[0，
]
①当a=0时，b=-3，f（x）=-3x是减函数，|f（-2）|=|f（2）|=6
∴t=2…10分
②当a∈(0，
]时，f（x）=ax2+（2a-3）x
该函数表示开口向上的抛物线，对称轴x=
≥0，f(-2)=f(
)=6，最小值为f(
)=-
（ⅰ）当-
≥-6时，即 4a2-36a+9≤0，解得
≤a≤
若|f（x）|≤6在x∈[-2，t]恒成立，此时t的最大值为f（x）=6的解x1=-2，x2=
中较大的根，所以
t=
…12分
（ii）当-
＜-6时，即4a2-36a+9＞0，解得0＜a＜
此时，令f（x）=-6，解得x=
，
若|f（x）|≤6在x∈[-2，t]上恒成立，则t为其中较小的根，
∴t=
综上所述，t=
…14分
|f1（m）-f1（n）|=|m2-n2|=|（m+n）（m-n）|=|m+n|•|m-n|
≤（|m|+|n|）•|m-n|≤2|m-n|≤3|m-n|
∴f1(x)=x2在集合A中…4分
（2）∵对于任意的m，n∈[-1，1]，有|a（m+n）+b|≤3恒成立，
∴令u=m+n∈[-2，2]，则|au+b|≤3恒成立，|au+b|max≤3
∵|au+b|≤|au|+|b|≤|2a|+|b|
∴|2a|+|b|≤3
∴|2a+b|≤|2a|+|b|≤3 即2a+b∈[-3，3]…7分
当m，n∈[-1，1]且m≠n时，有|f（m）-f（n）|=|（am2+bm）-（an2+bn）|=|a（m+n）+b||m-n|
又∵对任意的m，n∈[-1，1]，|a（m+n）+b|≤3恒成立，
∴|f（m）-f（n）|=|a（m+n）+b||m-n|≤3|m-n|成立，
∴f（x）=ax2+bx在集合A中…9分
（3）由f（-2）=6，可知b=2a-3 又因为2a+b∈[-3，3]
∴2a+b=4a-3∈[-3，3]∴a∈[0，
| 3 |
| 2 |
①当a=0时，b=-3，f（x）=-3x是减函数，|f（-2）|=|f（2）|=6
∴t=2…10分
②当a∈(0，
| 3 |
| 2 |
该函数表示开口向上的抛物线，对称轴x=
| 3-2a |
| 2a |
| 3 |
| a |
| 3-2a |
| 2a |
| (2a-3)2 |
| 4a |
（ⅰ）当-
| (2a-3)2 |
| 4a |
9-6
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
若|f（x）|≤6在x∈[-2，t]恒成立，此时t的最大值为f（x）=6的解x1=-2，x2=
| 3 |
| a |
t=
| 3 |
| a |
（ii）当-
| (2a-3)2 |
| 4a |
9-6
| ||
| 2 |
此时，令f（x）=-6，解得x=
3-2a±
| ||
| 2a |
若|f（x）|≤6在x∈[-2，t]上恒成立，则t为其中较小的根，
∴t=
3-2a-
| ||
| 2a |
综上所述，t=
|
点评：本题综合性很强，重点考查了转化思想，把恒成立问题转化成函数最值问题，数形结合思想、分类讨论思想．本题难度较大，特别是最后一问，涉及的字母比较多，对于字母间的关系及字母在解题过程中充当的角色不易分清．
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