Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（-x），且当x≥0时，f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函数f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（Ⅱ）求满足f（2-x²）＜f（x）的实数x的取值范围．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）先判断f（x）是奇函数，再根据奇偶性求出x＜0时f（x）的解析式；
（Ⅱ）先判断函数f（x）的单调性，再根据函数f（x）的单调性化简不等式f（2-x²）＜f（x），求出解集．

解答： 解：（Ⅰ）由于f（x）=-f（-x），知f（x）是奇函数，
当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=（-x）²+2（-x），
 即-f（-x）=x²-2x，
∴当x＜0时，f（x）=-x²+2x；…（6分）
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）=x²+2x；
∵当x≥0时，f′（x）=2x+2＞0，
∴f（x）在（0，+∞） 是增函数；
又∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）是增函数；
又∵f（2-x²）＜f（x），
∴2-x²＜x，
解得x＜-2或x＞1；
∴满足f（2-x²）＜f（x）的实数x的取值范围是
（-∞，-2）∪（1，+∞）．…（13分）

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是综合题目．