Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F（2，0），过F得直线交椭圆与A，B两点，若AB的中点为 (

1

2

，

1

2

)，则C得到方程为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：k_AB=

1 2 -0

1 2 -2

=-

1

3

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，两式相减可得a²=3b²．由c=2，a²=b²+c²，联立解得即可．

解答： 解：k_AB=

1 2 -0

1 2 -2

=-

1

3

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，
∴

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0，
∴

1

a2

+

- 1 3

b2

=0，化为a²=3b²．
由c=2，a²=b²+c²，
联立解得a²=6，b²=2．
∴椭圆的标准方程为：

x2

6

+

y2

2

=1．
故答案为：

x2

6

+

y2

2

=1．

点评：本题考查了“点差法”、椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．