已知圆C的方程为x2+y2=4.点P是圆C上任意一动点.过点P作x轴的垂线.垂足为H.且$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OH}$).动点Q的轨迹为E．轨迹E与x轴.y轴的正半轴分别交于点A和点B,直线y=kx与直线AB相交于点D.与轨迹E相交于M.N两点．(Ⅰ)求轨迹E� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

10．已知圆C的方程为x²+y²=4，点P是圆C上任意一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，且$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OH}$），动点Q的轨迹为E．轨迹E与x轴、y轴的正半轴分别交于点A和点B；直线y=kx（k＞0）与直线AB相交于点D，与轨迹E相交于M、N两点．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）求四边形AMBN面积的最大值．

分析（Ⅰ）由题意，设Q（x，y），则P（x，2y），再代入圆的方程求得轨迹E的方程；
（Ⅱ$S={x_0}+\sqrt{4-{x_0}^2}$，令${x_0}=2cosθ（-\frac{π}{2}≤θ≤\frac{π}{2}）$，即可求四边形AMBN面积的最大值．

解答解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OH}$），∴设Q（x，y），则P（x，2y）
∵P（x，2y）在x²+y²=4上，∴${x^2}+{（2y）^2}=4，即\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$：
（Ⅱ）∵$S={x_0}+\sqrt{4-{x_0}^2}$，令${x_0}=2cosθ（-\frac{π}{2}≤θ≤\frac{π}{2}）$，
∴$S=2cosθ+2sinθ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）≤2\sqrt{2}$，
∴${S_{max}}=2\sqrt{2}$．

点评本题考查轨迹方程的求法，训练了代入法求曲线的轨迹方程，考查了三角换元求函数的最值，是中档题．

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