Question

4．已知a＞0，b＞0且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，
（1）求ab最小值；
（2）求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件和基本不等式求出ab最小值；
（2）由条件和“1”的代换化简a+b，由基本不等式求出a+b的最小值．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$≥$2\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{2}{b}}$=$2\sqrt{\frac{2}{ab}}$，则$2\sqrt{\frac{2}{ab}}≤1$，
即ab≥8，当且仅当$\frac{1}{a}=\frac{2}{b}$时取等号，
∴ab的最小值是8；
（2）∵a＞0，b＞0且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，
∴a+b=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（a+b）=3+$\frac{b}{a}+\frac{2a}{b}$
≥3+$2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{2a}{b}}$=$3+2\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{2a}{b}$时取等号，
∴a+b的最小值是$3+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式在求最值中的应用，以及利用“1”的代换，考查转化思想，化简、变形能力．