Question

15．已知函数$f（x）=\sqrt{5-x}+lg（x+1）$的定义域为集合A，函数g（x）=lg（x²-2x+a）的定义域为集合B．
（Ⅰ）当a=-8时，求A∩B；
（Ⅱ）若A∩∁_RB={x|-1＜x≤3}，求a的值．

Answer 1

分析 （ I）求出函数f（x）、g（x）的定义域，再根据交集的定义写出A∩B；
（ II）根据补集与交集的定义，结合一元二次不等式与方程的知识，即可求出a的值．

解答 解：（ I）函数$f（x）=\sqrt{5-x}+lg（x+1）$有意义，
则有$\left\{\begin{array}{l}5-x≥0\\ x+1＞0\end{array}\right.$，
解得-1＜x≤5，-----------（2分）
当a=-8时，g（x）=lg（x²-2x-8），
所以x²-2x-8＞0，
解得x＞4或x＜-2，-----------（4分）
所以A∩B={x|4＜x≤5}；------------（5分）
（II）∁_RB={x|x²-2x+a≤0}={x|x₁≤x≤x₂}，--------------（6分）
由A∩（∁_RB）={x|-1＜x≤3}，
可得x₁≤-1，x₂=3，-------------（8分）
将x₂=3带入方程，解得a=-3，x₁=-1，满足题意，
所以a=-3．--------------（10分）

点评 本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了一元二次不等式与方程的应用问题，是综合性题目．