Question

关于x的方程x²+x•sin2θ-sinθ•cotθ=0的两根为α、β且0＜θ＜2π，若数列1，（

1

α

+

1

β

），（

1

α

+

1

β

）^2…的前2008项和为0，则θ的值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由根与系数关系得到α、β的和与积，求出

1

α

+

1

β

，得到数列数列1，（

1

α

+

1

β

），（

1

α

+

1

β

）²…为等比数列，由等比数列的求和公式求出其前2008项的和，由和为0求得sinθ的值，结合θ的范围得答案．

解答： 解：∵方程x²+x•sin2θ-sinθ•cotθ=0（其中0＜θ＜2π）的两实根为α、β，
∴△=sin²2θ+4sinθ•cotθ≥0，
即sin²θ•cos²θ+cosθ≥0  ①
α+β=-sin2θ，αβ=-sinθ•cotθ=-cosθ，

1

α

+

1

β

=

α+β

αβ

=

-sin2θ

-cosθ

=2sinθ，
显然2sinθ≠1且2sinθ≠0，否则数列1，（

1

α

+

1

β

），（

1

α

+

1

β

）^2…的前2008项和不为0，
∴数列1，（

1

α

+

1

β

），（

1

α

+

1

β

）²…是首项为1，公比为2sinθ的等比数列，
则其前2008项的和为

1-(2sinθ)2008

1-2sinθ

=0．
即（2sinθ）²⁰⁰⁸=1，2sinθ=-1，sinθ=-

1

2

．
∵0＜θ＜2π，
∴θ=

7π

6

或θ=

11π

6

．
验证θ=

7π

6

或θ=

11π

6

时①成立，
故答案为：

7π

6

或

11π

6

．

点评：本题考查根与系数的关系，具体涉及到三角函数的恒等变换和基本性质，考查了等比数列的前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，是中档题．