Question

设函数f（x）=lnx+e^x，g（x）=e^x+

1

2

x²-ax（a∈R）（e=2.71828…是自然对数的底数）
（1）当a=

3

2

，设F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的单调区间；
（2）定义：若函数φ（x）在定义域为[m，n]（m＜n）上的值域为[m，n]，则称区间[m，n]为函数φ（x）的“同域区间”，在（1）的条件下，证明：函数F（x）在区间（0，2）内存在“同域区间”；
（3）当a＞1时，对于区间（2，3）内任意两个不相等的实数x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出F（x）=f（x）-g（x）的表达式，求函数的导数即可求F（x）的单调区间，
（2）根据“同域区间”的定义，建立方程关系，即可得到结论．
（3）根据不等式恒成立问题，进行转化，即可得到结论．

解答： 解：（1）当a=

3

2

，设F（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

x²+

3

2

x，
则F（x）的定义域为（0，+∞），
则F′（x）=

1

x

-x+

3

2

=-

(2x+1)(x-2)

2x

，
由F′（x）＞0，解得0＜x＜2，此时函数单调递增．
F′（x）＜0，解得x＞2，此时函数单调递减．
（2）设F（x）=lnx-

1

2

x²+

3

2

x的定义域为[m，n]，假设存在“同域区间”，
则由（1）知，F（x）在区间（0，2）上单调递增，
即

F(m)=m F(n)=n

，则

lnm- 1 2 m2+ 3 2 m=m lnn- 1 2 n2+ 3 2 n=n

，
也就是方程lnx-

1

2

x2+

3

2

=x在区间（0，2）上存在两个相异的实根，
即2lnx-x²+x=0在区间（0，2）上存在两个相异的实根，
即T（x）=2lnx-x²+x，则T′（x）=

2

x

-2x+1单调递减，
当x∈（0，2）时，T′（x）=

2

x

-2x+1＜0，
设m（x）=T′（x）=

2

x

-2x+1，
则m（

1

e

）=2e+1-

2

e

＞0，m（2）=-2＜0，即在区间（

1

e

，2）上必存在唯一的点x₀∈（

1

e

，2）使m（x₀）=0，
当x∈（

1

e

，x₀），m（x）＞0，此时函数m（x）单调递增，
当x∈（x₀，2），m（x）＜0，此时函数m（x）单调递减，
T（

1

e

）=

e(-2e+1)-1

e2

＜0，
∵m（1）=1＞0，∴x₀＞1，即T（x）在（1，x₀）上递增，
T（x₀）＞T（1）=0，T（2）=2ln2-4+2=2ln2-2=2（ln2-1）＜0，
∴T（x）=2lnx-x²+x，在区间（

1

e

，2）上有两个不相等的解，
即方程2lnx-x²+x=0在区间（

1

e

，2）上有两个不相等的实根，
从而函数F（x）在区间（0，2）内存在“同域区间”；
（3）不妨设2＜x₁＜x₂＜3，则f（x）=lnx+e^x，在区间（2，3）上单调递增，
则有|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
∴|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|等价为|g（x₁）-g（x₂）|＜f（x₂）-f（x₁），
则f（x₁）-f（x₂）＜|g（x₁）-g（x₂）|＜f（x₂）-f（x₁），
即f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂）且g（x₁）+f（x₁）＜g（x₂）+f（x₂）恒成立，
从而f（x）-g（x）在（2，3）上单调递增，求f（x）+g（x）在（2，3）上单调递增，
即[f（x）-g（x）]′＞0，[f（x）+g（x）]′＞0，
∴命题等价为当x∈（2，3）下

1 x -x+a≥0 1 x +2ex+x-a≥0

恒成立，
即

a≥x- 1 x a≤x+ 1 x +2ex

，解得

8

3

≤a≤

5

2

+2e2．

点评：本题主要考查函数的性质和导数之间的关系，综合性较强，运算量较大，难度非常大．