Question

请分别用复合函数方法、换元法，证明函数y=

x

1-x

+2在区间（-∞，0）上为增函数．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：法一：复合函数法：根据函数y=

x

1-x

+2=1-

1

x-1

，通过考查y=

1

x-1

、y=-

1

x-1

的单调性，得出结论．
法二：换元法，令t=x-1，可得t∈（-∞，-1），y=1-

1

t

，根据y=1-

1

t

在（-∞，-1）上是增函数，得出结论．

解答： 解：法一：复合函数法：函数y=

x

1-x

+2=

x-1+1

1-x

+2=-1-

1

x-1

+2=1-

1

x-1

，
在区间（-∞，0）上，∵y=

1

x-1

 是减函数，y=-

1

x-1

是增函数，∴y=1-

1

x-1

是增函数，
故函数y=

x

1-x

+2在区间（-∞，0）上为增函数．
法二：换元法，令t=x-1，∵x∈（-∞，0），∴t∈（-∞，-1），y=1-

1

t

．
由于y=1-

1

t

在（-∞，-1）上是增函数，∴函数y=

x

1-x

+2在区间（-∞，0）上为增函数．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，属于基础题．