Question

10．椭圆$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$与双曲线$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a，b＞0）$有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 求出椭圆的离心率，得到双曲线的离心率，求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，然后求解即可．

解答 解：椭圆$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的焦点坐标（±1，0），离心率为：$\frac{1}{2}$，
双曲线$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a，b＞0）$的焦点（±1，0），c=1，双曲线的离心率为2．
可知a=$\frac{1}{2}$，则b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
双曲线渐近线y=±$\sqrt{3}x$的倾斜角的正弦值为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力