Question

如图，四棱锥P-ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=

π

3

，M为BC上的一点，且BM=

1

2

，MP⊥AP．
（Ⅰ）求PO的长；
（Ⅱ）求二面角A-PM-C的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O-xyz，分别求出向量

AP

，

MP

的坐标，进而根据MP⊥AP，得到

AP

•

MP

=0，进而求出PO的长；
（Ⅱ）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A-PM-C的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）连接AC，BD，
∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，
故AC∩BD=O，且AC⊥BD，
以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O-xyz，

∵AB=2，∠BAD=

π

3

，
∴OA=AB•cos（

1

2

∠BAD）=

3

，OB=AB•sin（

1

2

∠BAD）=1，
∴O（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），

OB

=（0，1，0），

BC

=（-

3

，-1，0），
又∵BM=

1

2

，
∴

BM

=

1

4

BC

=（-

3

4

，-

1

4

，0），
则

OM

=

OB

+

BM

=（-

3

4

，

3

4

，0），
设P（0，0，a），则

AP

=（-

3

，0，a），

MP

=（

3

4

，-

3

4

，a），
∵MP⊥AP，
∴

AP

•

MP

=

3

4

-a²=0，
解得a=

3

2

，
即PO的长为

3

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

AP

=（-

3

，0，

3

2

），

MP

=（

3

4

，-

3

4

，

3

2

），

CP

=（

3

，0，

3

2

），
设平面APM的法向量

m

=（x，y，z），平面PMC的法向量为

n

=（a，b，c），
由

m • AP =0 m • MP =0

，得

- 3 x+ 3 2 z=0 3 4 x- 3 4 y+ 3 2 z=0

，
令x=1，则

m

=（1，

5 3

3

，2），
由

n • CP =0 n • MP =0

，得

3 a+ 3 2 c=0 3 4 a- 3 4 b+ 3 2 c=0

，
令a=1，则

n

=（1，-

3

，-2），
∵平面APM的法向量

m

和平面PMC的法向量

n

夹角θ满足：
cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

1-5-4

40 3 • 8

=-

15

5

故sinθ=

1-cos2θ

=

10

5

点评：本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．