Question

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（1）证明：BN⊥平面C₁B₁N；  
（2）求二面角B₁-CN-A的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由题意∠BNB₁为直角，B₁C₁⊥BN，由此能证明BN⊥面C₁B₁N．
（2）以B为原点，BA为x轴，BB₁为y轴，BC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B₁-CN-A的正弦值．

解答： （1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形，
侧视图为等腰直角三角形，
俯视图为直角梯形．
则B₁C₁⊥面ABB₁N，且在ABB₁N内，
∴∠BNB₁为直角
∵B₁C₁⊥面ABB₁N且BN?面ABB₁N，
∴B₁C₁⊥BN，又∵BN⊥B₁N，且B₁N∩B₁C₁=B₁，
∴BN⊥面C₁B₁N
（2）解：以B为原点，BA为x轴，BB₁为y轴，
BC为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得B₁（0，8，0），C（0，0，4），
N（4，4，0），A（4，0，0），

CN

=（4，4，-4），

CB1

=（0，8，-4），

CA

=（4，0，-4），
设平面CNB₁的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • CN =4x+4y-4z=0 m • CB1 =8y-4z=0

，
取y=1，得

m

=（1，1，2），
设平面CNA的法向量

n

=（a，b，c），
则

n • CN =4a+4b-4c=0 n • CA =4a-4c=0

，
取a=1，得

n

=（1，0，1），
设二面角B₁-CN-A的平面角为θ．
则cosθ=

m • n

| m || n |

=

3

2

，∴sinθ=

1- 3 4

=

1

2

．
∴二面角B₁-CN-A的正弦值为

1

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．