Question

用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）²．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用数学归纳法来证明，当n=1时，命题成立，再假设当n=k时，1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）=k（k+1）²成立，证明当n=k+1时，命题也成立．

解答： 证明：①当n=1时，3n+1=4，而等式左边起始为1×4的连续的正整数积的和，
故n=1时，等式左端=1×4=4，右端=4，成立；
②设当n=k时，1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）=k（k+1）²成立，
则当n=k+1时，1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=k（k+1）²+（k+1）（3k+4）=（k+1）（k²+k+3k+4）=（k+1）（k+1+1）²，即n=k+1，成立
综上所述，1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）²．

点评：本题考查数学归纳法的运用，解题的关键正确运用数学归纳法的证题步骤，属于中档题．