Question

若函数f（x）的定义域为N⁺，且f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，f（1）=1，求f（x）的表达式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,推理和证明

分析：根据题意，求出f（2）、f（3）、f（4）、f（5）的值，利用归纳猜想，求出f（x）的解析式．

解答： 解：∵f（x）的定义域为N⁺，且f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，f（1）=1，
∴f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+1×1=1+1+1=3，
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）+1×2=3+1+2=6，
f（4）=f（3+1）=f（3）+f（1）+1×3=6+1+3=10，
f（5）=f（4+1）=f（4）+f（1）+1×4=10+1+4=15，
f（6）=f（5+1）=f（5）+f（1）+1×5=15+1+5=21，
，…，
∴f（x）=1+2+3+…+x=

x(x+1)

2

x∈N⁺；

点评：本题考查了利用归纳、猜想求函数解析式的问题，解题时应对简单的问题进行分析，以便得出正确的结论，是较基础题．