Question

已知a，b，c表示△ABC的边长，m＞0．求证：

a

a+m

+

b

b+m

＞

c

c+m

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：设f（x）=

x

x+m

（x＞0），则f′（x）=

m

(x+m)2

＞0，可得f（x）在（0，+∞）上为增函数，利用△ABC中，a+b＞c，即可得出结论．

解答： 证明：设f（x）=

x

x+m

（x＞0），则f′（x）=

m

(x+m)2

＞0
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
在△ABC中，a+b＞c，则

a+b

a+b+m

＞

c

c+m

．
∴

c

c+m

＜

a

a+b+m

+

b

a+b+m

＜

a

a+m

+

b

b+m

．
∴原不等式成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查函数的单调性，确定f（x）在（0，+∞）上为增函数是关键．