Question

在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为

x= 3 cosα y=sinα

（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=4

2

．
（1）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C₁上的动点，求点P到C₂上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．
（2）求得椭圆上的点P(

3

cosα，sinα)到直线x+y-8=0的距离为d=

| 3 cosα+sinα-8|

2

=

|2sin(α+ π 3 )-8|

2

，可得d的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．

解答： 解：（1）由曲线C₁：

x= 3 cosα y=sinα

，可得

x 3 =cosα y=sinα

，两式两边平方相加得：(

x

3

)2+y2=1，
即曲线C₁的普通方程为：

x2

3

+y2=1．
由曲线C₂：ρsin(θ+

π

4

)=4

2

得：

2

2

ρ(sinθ+cosθ)=4

2

，
即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y-8=0，
即曲线C₂的直角坐标方程为：x+y-8=0．
（2）由（1）知椭圆C₁与直线C₂无公共点，椭圆上的点P(

3

cosα，sinα)到直线x+y-8=0的距离为d=

| 3 cosα+sinα-8|

2

=

|2sin(α+ π 3 )-8|

2

，
∴当sin(α+

π

3

)=1时，d的最小值为3

2

，此时点P的坐标为(

3

2

，

1

2

)．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．