Question

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，离心率为

6

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+2（k≠0）相交于不同的两点M、N，当|MN|=

3

时，求k的取值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，

b=1 c a = 6 3 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）联立

y=kx+2 x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²+12kx+9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出k．

解答： 解：（1）由已知设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
∵椭圆的一个顶点为A（0，-1），离心率为

6

3

．
∴

b=1 c a = 6 3 a2=b2+c2

，解得a=

3

，b=1，c=

2

，
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（2）联立

y=kx+2 x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²+12kx+9=0，
∵椭圆与直线y=kx+2（k≠0）相交于不同的两点M、N，
∴△=144k²-36（3k²+1）＞0，解得k＞1或k＜-1，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

12k

3k2+1

，x1x2=

9

3k2+1

，
∵|MN|=

3

，∴|MN|=

(1+k2)[(- 12k 3k2+1 )2- 36 3k2+1 ]

=

3

，
整理，得3k⁴-6k²-13=0，
解得k=±

1+ 4 3 3

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．