Question

已知函数f（x）=-x²-2x，g（x）=

x+ 1 4x ，x＞0 x+1，x≤0

，若方程g[f（x）]-a=0的实数根的个数有3个，则实数a的值是

 

．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：分别作出两个函数的图象，根据两个图象之间的关系即可得到结论．

解答： 解：∵当x＞0时，g（x）=x+

1

4x

≥2

x• 1 4x

=2×

1

2

=1，当且仅当x=

1

4x

，即x=

1

2

时取等号．
当x≤0时，g（x）=x+1≤1，
而f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1≤1，
设t=f（x），
则方程g[f（x）]-a=0等价为g（t）=a，
要使方程g[f（x）]-a=0的实数根的个数有3个，
则t=1且t＜1，当t=1时，g（1）=1+

1

4

=

5

4

=a．
故答案为：

5

4

点评：本题主要考查函数的图象和应用，利用函数和方程之间的关系，作出两个函数的图象是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．