Question

已知

m

=（2

3

，1），

n

=（cos²

A

2

，sin（B+C），A，B，C是△ABC的内角
（1）当A=

π

2

时，求|

n

|的值；
（2）若B=

π

6

，|AB|=3，当

m

•

n

取最大值时，求A大小及BC边长．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）把A的度数代入取得出向量

n

坐标，利用向量模的计算方法即可求出|

n

|的值；
（2）由两向量的坐标，以及平面向量的数量积运算法则表示出

m

•

n

，求出

m

•

n

取最大值时A的度数，进而求出C与B的度数，得到|BC|=|AC|=x，利用余弦定理列出关系式，求出x的值，即可求出|BC|．

解答： 解：（1）当A=

π

2

时，

n

=（cos²

A

2

，sin（B+C）=（

1

2

，1），
则|

n

|=

( 1 2 )2+1

=

5

2

；
（2）∵

m

=（2

3

，1），

n

=（cos²

A

2

，sin（B+C），
∴

m

•

n

=2

3

cos²

A

2

+sin（B+C）=

3

（1+cosA）+sinA=2sin（A+

π

3

）+

3

，
当A=

π

6

时，

m

•

n

取得最大值，此时C=π-A-B=

2π

3

，
∴A=B=

π

6

，即|BC|=|AC|，
设|BC|=|AC|=x，
由余弦定理得：|AB|²=|AC|²+|BC|²-2|AC|•|BC|•cosC，即9=x²+x²+x²=3x²，
解得：x=

3

，
则|BC|=

3

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．