Question

8．已知函数f（x）=x²-2ax+4．
（1）当a=-1时，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值；
（2）若函数f（x）在区间[-2，1]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）在区间[-1，3]上有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断出f（x）在[-2，2]上的单调性，利用单调性求出最大值；
（2）令对称轴在区间[-2，1]外部即可；
（3）按零点个数进行分情况讨论．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=x²+2x+4=（x+1）²+3．
∴f（x）在[-2，-1）上单调递减，在[-1，2]上单调递增．
∴函数f_max（x）=f（2）=12．
（2）函数f（x）的对称轴为x=a，
∵函数f（x）在区间[-2，1]上是单调函数，
∴a≤-2或a≥1．
∴a的取值范围为（-∞，-2]∪[1，+∞）．
（3）①若函数f（x）在区间[-1，3]上有且只有1个零点，
（i）当零点分别为-1或3时，则f（-1）=0或f（3）=0
∴a=-$\frac{5}{2}$或a=$\frac{13}{6}$；
（ii）当零点在区间（-1，3）上时，
若△=4a²-16=0，则a=2或a=-2．
当a=2时，函数f（x）的零点为x=2∈[-1，3]．
当a=-2时，函数f（x）的零点为x=-2∉[-1，3]．
∴a=2．
若△=4a²-16≠0，则a≠2且a≠-2．
∴f（-1）•f（3）＜0，解得a＜-$\frac{5}{2}$或a＞$\frac{13}{6}$．
②若函数f（x）在区间[-1，3]上有2个零点，则
$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a＜3}\\{4{a}^{2}-16＞0}\\{f（-1）＞0}\\{f（3）＞0}\end{array}\right.$，解得  2＜a＜$\frac{13}{6}$．
综上所述：a的取值范围是（-∞，-$\frac{5}{2}$]∪[2，+∞）

点评 本题考查了二次函数的单调性，最值及零点个数与系数的关系，是中档题．